Question

【題目】在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）證明：四邊形是菱形；

（3）若，，直接寫出菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）10

【解析】

（1）根據AAS證AEF≌DEB；

（2）利用（1）中全等三角形的對應邊相等得到AF＝BD．結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD＝DC，從而得出結論；

（3）由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中點，D是BC的中點，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在AFE和DBE中，

，

∴AFE≌DBE（AAS）；

（2）證明：由（1）知，AFE≌DBE，

則AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，

∴AD＝DC＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（3）解：連接DF，

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF＝AB＝5，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴S菱形ADCF＝ACDF

＝×4×5

＝10．