Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，，，點是軸上點，點為的中點．

（1）求證：；

（2）若點在軸正半軸上，且與的距離等于，求點的坐標；

（3）如圖2，若點在軸正半軸上，且于點，當四邊形為平行四邊形時，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由A與B的坐標確定OA和OB的長，進而確定B為OA的中點，而D為OC的中點，利用中位線定理即可證明；

（2）作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，確定出G坐標；由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理求出OA的長，即可確定C的坐標；

（3）當四邊形ABDE為平行四邊形，可得AB∥DE，進而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點，得到OE=CE；再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長，確定出C坐標；設直線AC解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可確定的解析式．

解：（1），，

，，

是的中點，

又是的中點，

是的中位線，

．

（2）如圖1，作BF⊥AC于點F，取AB的中點G，則G（0，3）；

∵BD∥AC，BD與AC的距離等于1，

∴BF=1，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，點G為AB的中點，

∴FG=BG=AB=1，

∴△BFG是等邊三角形，∠ABF=60°.

∴∠BAC=30°，

設OC=x，則AC=2x，

根據勾股定理得：

∵OA=4

∴．

．

（3）如圖2，當四邊形ABDE為平行四邊形，

∴AB∥DE，

∴DE⊥OC，

∵點D為OC的中點，

∴OE=EC，

∵OE⊥AC，

∴∠0CA=45°，

∴OC=0A=4，

∴點C的坐標為（4，0）或（-4，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）.

由題意得：解得：

直線的解析式為．