Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求證：四邊形OEFG是矩形；

（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.

【解析】

(1)先證明EO是△DAB的中位線，再結合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5，由勾股定理進而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．

解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，

∴點O為BD的中點，

∵點E為AD中點，

∴OE為△ABD的中位線，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形

∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．

(2)∵點E為AD的中點，AD=10，

∴AE=

∵∠EFA=90°，EF=4，

∴在Rt△AEF中，．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AD=10，

∴OE=AB=5，

∵四邊形OEFG為矩形，

∴FG=OE=5，

∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．

故答案為：OE=5，BG=2．