Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+ax+b交x軸于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是拋物線在第一象限上的一點，過點P作AC的平行線l，分別交直線BC，y軸于點D，點E．

（1）填空：直線AC的解析式為　 　，拋物線的解析式為　 　；

（2）當CD＝時，求OE的長；

（3）當DP＝DE時，求點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x+4，拋物線的解析式為；（2）OE的長為1；（3）點P的橫坐標1

【解析】

（1）先用待定系數法求出拋物線解析式，然后求出點、C坐標，再求直線AC的解析式即可；

（2）作BF//y軸，交DE于F．求出直線DE的解析式，表示出CE、BF的長，利用△CDE∽△BDF，列式求解即可；

（3）作PG//y軸，交BC于G．由△CED≌△GPD，可得PG=CE．求出直線BC的解析式，根據PG=CE列方程求解即可．

（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y＝﹣x2+ax+b得，

，

解得

，

∴．

當x=0時，y=4，

∴C(0，4)，

設直線AC的解析式為y=mx+n，

，

，

∴y＝2x+4；

（2）如圖，作BF//y軸，交DE于F．

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴BC=4，

∵CD=，

∴BD=3．

設DE的解析式為y=2x+b，則E(0，b)，CE=4-b，

當x=4時，y=8+b，則BF=8+b，

∵BF//y軸，

∴△CDE∽△BDF，

∴，

∴，

解得

b=1，

∴OE=1；

（3）如圖，作PG//y軸，交BC于G．

∵PG//y軸，

∴∠CED=∠GPD， ∠ECD=∠PGD，

∵DP＝DE，

∴△CED≌△GPD，

∴PG=CE．

設直線BC的解析式為y=ax+c，

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴，

解得

，

∴y=-x+4．

設P(m， )，G(m， )，

把P(m， )代入y=2x+b得

2m+b=，

∴b=，

∴4-()=-()，

m2-m=0，

解得

m1=0（舍去），m2=1，

∴點P的橫坐標1．