Question

【題目】《函數的圖象與性質》拓展學習片段展示：

【問題】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經過原點O，與x軸的另一個交點為A，則a= ．

【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對應的函數解析式．

【探究】在圖②中，過點B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點從左至右依次為點C，D，E，F，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應的函數y隨x增大而增大時x的取值范圍．

【應用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】【問題】：a=；【操作】：y=；【探究】：當1＜x＜2或x＞2+時，函數y隨x增大而增大；【應用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．

【解析】

試題分析：【問題】：把（0，0）代入可求得a的值；

【操作】：先寫出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據圖象可得對應取值的解析式；

【探究】：令y=0，分別代入兩個拋物線的解析式，分別求出四個點CDEF的坐標，根據圖象呈上升趨勢的部分，即y隨x增大而增大，寫出x的取值；

【應用】：先求DE的長，根據三角形面積求高的取值h≥1；

分三部分進行討論：

①當P在C的左側或F的右側部分時，設P[m，]，根據h≥1，列不等式解出即可；

②如圖③，作對稱軸由最大面積小于1可知：點P不可能在DE的上方；

③P與O或A重合時，符合條件，m=0或m=4．

試題解析：【問題】

∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣經過原點O，

∴0=a（0﹣2）2﹣，

a=；

【操作】：如圖①，拋物線：y=（x﹣2）2﹣，

對稱軸是：直線x=2，由對稱性得：A（4，0），

沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣（x﹣2）2+

如圖②，圖象G對應的函數解析式為：y=；

【探究】：如圖③，由題意得：

當y=1時，（x﹣2）2﹣=0，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴C（2﹣，1），F（2+，1），

當y=1時，﹣（x﹣2）2+=0，

解得：x1=3，x2=1，

∴D（1，1），E（3，1），

由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當1＜x＜2或x＞2+時，函數y隨x增大而增大；

【應用】：∵D（1，1），E（3，1），

∴DE=3﹣1=2，

∵S△PDE= DEh≥1，

∴h≥1；

①當P在C的左側或F的右側部分時，設P[m，]，

∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，

（m﹣2）2≥10，

m﹣2≥或m﹣2≤﹣，

m≥2+或m≤2﹣，

②如圖③，作對稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，

∵H（2，），

∴HM=﹣1=＜1，

∴當點P不可能在DE的上方；

③∵MN=1，

且O（0，0），a（4，0），

∴P與O或A重合時，符合條件，

∴m=0或m=4；

綜上所述，△PDE的面積不小于1時，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．