Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，AB=8cm，BC=6cm．點P從點A出發，沿AC方向勻速運動，速度為2cm/s，同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s．過點P作PM⊥AD于點M，連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）當t為何值時，點Q在線段AC的中垂線上；

（2）寫出四邊形PQAM的面積為S（cm2）與時間t的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）當t為何值時，△APQ與△ADC相似．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）S四邊形PQAM=﹣t2+t；（3）存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD；（4）當t=或時，△APQ與△ABC相似．

【解析】試題分析：（1）由點Q在線段AC的中垂線上可知CQ=AQ=8﹣2t，在Rt△BCQ中根據BC2+BQ2=CQ2列方程求解．

（2）先證明△APM∽△ACD，列方程用含t的代數式表示出AM和PM的值，然后根據四邊形PQAM的面積=△APQ的面積+△APM的面積求解；

（3）存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．首先根據四邊形ABCD是矩形，求出S矩形ABCD的值是多少；然后分別求出△APM、△APQ的面積各是多少，再根據S四邊形PQAM=S矩形ABCD，求出t的值是多少即可．

（4）當t=2或1時，△APQ與△ABC相似．根據題意，分兩種情況討論：①當∠AQP=90°時，△APQ與△ABC相似；②當∠APQ=90°時，△APQ與△ABC相似；求出當t為何值時，△APQ與△ABC相似即可．

解：（1）由題意CQ=AQ=8﹣2t，

在Rt△BCQ中，∵BC2+BQ2=CQ2，

∴62+（2t）2=（8﹣2t）2，

解得t=．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴S矩形ABCD=ABBC=8×6=48，

∵PM⊥AD，CD⊥AD，

∴PM∥CD，

∴△APM∽△ACD，

∴==，

即 ==，

解得AM=t，PM=t，

∴S△APM=AMPM=×t×t=t2．

∵sin∠PAQ==，

∴S△APQ=APAQsin∠PAQ=×2t（8﹣2t）×=t（4﹣t），

∵S四邊形PQAM=t2+t（4﹣t）=﹣t2+t．

（3）存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．

如圖2，

，

∵S四邊形PQAM=S矩形ABCD，

∴t2+t（4﹣t）=×48，

整理，可得t2﹣20t+36=0

解得t=2或t=18（舍去），

∴存在t=2，使S四邊形PQAM=S矩形ABCD．

（4）當t=2或1時，△APQ與△ABC相似．

①當△APQ∽△ACB，

∴=，

即 =，

解得t=2，

②如圖3，

，

當∠APQ=90°時，△APQ與△ABC相似，

∵tan∠PAQ==，

∴=，

即 =，

∴PQ=t，

∵BQ=t，

∴AQ=8﹣2t，

在Rt△APQ中，

∵AP2+PQ2=AQ2，

∴（2t）2+（t）2=（8﹣2t）2，

解得t=1或t=﹣16（舍去）．

綜上，可得

當t=2或1時，△APQ與△ABC相似．