Question

【題目】如圖，中，，，，點為射線上的動點，以為邊，在的同側作菱形，使得．若菱形的邊經過線段的中點．

（1）將菱形沿射線向右平移，記平移中的菱形菱形，當點與點重合時停止平移．設平移的距離為，是否存在這樣的，使△BDE是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（2）在（1）問的平移過程中，設菱形與重疊部分的面積為，請直接寫出與之間的函數關系式以及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）存在；當，或時，△BDE是等腰三角形；（2）S與t的關系式為：；

【解析】

（1）根據題意，由菱形的性質，解直角三角形求出OG，CF的長度，以及求出所需的線段長度，由△BDE是等腰三角形，可分為三種情況：①當DE=EB時；②當BD=BE時；③當BD=DE時；分別求出t的值，即可得到答案；

（2）根據菱形的運動情況，可分為三種情況：①當時；②當時；③當時；分別討論出重合的面積的計算方法，然后求出S與t的關系式，即可得到答案.

解：中，，，，

∴由勾股定理，得，

∵點O是AB的中點，則BO=AO=20，

如圖，過F作FH⊥BC，OG⊥BC，則四邊形HGOF是矩形，

∴FH=OG，FO=HG，

∵點O是AB的中點，OG∥AC，

∴OG=，CG=BG=16，

在Rt△CHF中，有

，

∴CH=9，

∴，

∴HG=OF=16-9=7，

∴OE=15-7=8；

當點F與點O重合時，向右平移了7個單位，即t=7；

∴，，，

∵，

∴，即；

要使△BDE是等腰三角形，則可分為以下幾種情況：

①當DE=EB時，如圖：作EI⊥BC于點I，

∵DE=15，EI=12，由勾股定理得：

，

∴BD=18，

∴（不符合題意，舍去）；

②當BD=BE時，如圖：

∵DE⊥AB，

∴DJ=EJ=，

∵,

∴，

∴，

∴；

③當BD=DE=15時，△BDE是等腰三角形，

則；

當點與點B重合時，BD=DE=15，

此時；

∴當，或時，△BDE是等腰三角形；

（2）根據題意，

∵，；

平移過程中可分成三種情況：

①當時，如圖：

∴OE=8+t，

∴，，

∴重合部分的面積為：

；

②當時，如圖：

∴，，

∴，,，,

∴，

∴；

③當時，如圖：

此時重合部分的面積為三角形，

∴，

∴，，

∴；

綜合上述可知，S與t的關系式為：；