Question

【題目】正方形ABCD的邊長為6cm，點E，M分別是線段BD，AD上的動點，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點N.

(1)如圖①，若點M與點D重合，求證：AF＝MN；

(2)如圖②，若點M從點D出發，以1cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點E從點B出發，以cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts.

①設BF＝ycm，求y關于t的函數表達式；

②當BN＝2AN時，連接FN，求FN的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據四邊形的性質得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定義得到∠AHM=90°，由余角的性質得到∠BAF=∠AMH，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）①根據勾股定理得到BD=6，由題意得，DM=t，BE=t，求得AM=6-t，DE=6-t，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論；

②根據已知條件得到AN=2，BN=4，根據相似三角形的性質得到BF=，由①求得BF=，得方程=，于是得到結論．

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NDA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NDA，

∴△ABF≌△MAN，

∴AF＝MN.

(2)①∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD∥BF，

∴∠ADE＝∠FBE.

∵∠AED＝∠BEF，

∴△EBF∽△EDA，

∴＝.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝DC＝CB＝6cm，

∴BD＝6cm.

∵點E從點B出發，以cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts，

∴BE＝tcm，DE＝(6－t)cm，

∴＝，

∴y＝.

②∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠MAN＝∠FBA＝90°.

∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°.

∵∠NMA＋∠ANH＝90°，

∴∠NAH＝∠NMA.

∴△ABF∽△MAN，

∴＝.

∵BN＝2AN，AB＝6cm，

∴AN＝2cm.

∴＝，

∴t＝2，

∴BF＝＝3(cm)．

又∵BN＝4cm，

∴FN＝＝5(cm)．

點睛: 本題主要考查正方形的性質和相似三角形、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識點的綜合應用．