Question

【題目】探究：如圖①，△ACE中，AC=AE，點B在邊CE上，點D在邊AE上，∠ABD=∠E．求證：△ACB∽△BED．

應用：如圖②，△ACE為等邊三角形，點B在邊CE上，點D在邊AE上，∠ABD=60°，BC=BE，則△ABD與△BDE的面積比為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）13:3

【解析】試題分析：（1）由等邊對等角，得到∠C=∠E，由三角形外角的性質得到∠ABC=∠BDE，再由有兩個角分別相等的兩個三角形相似，得證；（2）由△ACB∽△BED，根據相似三角形的對應邊成比例，可求得△ABC與△BDE的面積比，△ABC與△ABE的面積比，繼而求得答案．

試題解析：（1）

∵AC=AE,

∴∠C=∠E,

∵∠ABC=∠∠BAE+∠E, ∠BDE=∠BAE+∠ABD, ∠ABD=∠E,

∴∠ABC=∠BDE,

在△ABC和△BDE中，

∴△ABC∽△BDE；

（2）∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，

∴∠CAB=∠DBE，

∵∠C=∠E=60，

∴△ACB∽△BED，

∵△ACE是等邊三角形，BC=BE

∴△ACB與△BED的相似比為：4:3，

∴S△ABC:S△BED=16:9,S△ABC:S△ABE=1:3=16:48，

設S△ABC=16x,則S△ABE=48x,S△BDE=9x

∴S△ABD=S△ABES△BED=48x9x=39x，

∴S△ABD:S△BDE=39:9=13:3.