Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且B（1，0）

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線y=x平分∠APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CF下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交直線CF于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，

可得a+2﹣3=0，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）

（2）解：若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點(diǎn)在x軸上方，PA與y軸交于點(diǎn)B′，

由于點(diǎn)P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

在△BPO和△B′PO中

，

∴△BPO≌△B′PO（ASA），

∴BO=B′O=1，

設(shè)直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

，解得 ，

∴直線AP解析式為y= x+1，

聯(lián)立 ，解得 ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；

若P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得△BOP≌△B′OP，

∴∠BPO=∠B′PO，

又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，

∴∠APO≠∠BPO，即此時(shí)沒有滿足條件的P點(diǎn)，

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）

（3）解：如圖2，作QH⊥CF，交CF于點(diǎn)H，

∵CF為y= x﹣ ，

∴可求得C（ ，0），F(xiàn)（0，﹣ ），

∴tan∠OFC= = ，

∵DQ∥y軸，

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

∴tan∠HDQ= ，

不妨設(shè)DQ=t，DH= t，HQ= t，

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，

∴若DQ=DE，則S△DEQ= DEHQ= × t×t= t2，

若DQ=QE，則S△DEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × t× t= t2，

∵ t2＜ t2，

∴當(dāng)DQ=QE時(shí)△DEQ的面積比DQ=DE時(shí)大．

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則D（x， x﹣ ），

∵Q點(diǎn)在直線CF的下方，

∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ，

當(dāng)x=﹣ 時(shí)，tmax=3，

∴（S△DEQ）max= t2= ，

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

【解析】（1）利用待定系數(shù)法把B坐標(biāo)代入解析式即可;（2）由平分可得△BPO≌△B′PO或△BOP≌△B′OP，連立y=x與AP的解析式可解決；（3）最值問題可利用函數(shù)思想解決，構(gòu)建關(guān)于面積的函數(shù)，利用配方法解決.