Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，已知直線經過點P（2，1），點A在y軸的正半軸上，連接PA，將線段PA繞點P順時針旋轉90°至線段PB，過點B作直線MN⊥x軸，垂足為N，交直線y=kx（k≠0）于點M（點M在點B的上方），且BN=3BM，連接AB，直線AB與直線交于點Q，則點Q的坐標為__________．

Answer 1

【答案】（7，）

【解析】

由已知條件得到直線OM的解析式為：y＝x，過P作EF∥x軸交y軸于E交MN于F，推出四邊形OEFN是矩形，根據全等三角形的性質得到AE＝PF，PE＝BF＝2，求得A（0，7），B（8，3），列方程組即可得到結論．

∵直線y＝kx（k≠0）經過點P（2，1），

∴k＝，

∴直線OM的解析式為：y＝x，

過P作EF∥x軸交y軸于E交MN于F，

∵MN⊥x軸，

∴MN∥AO，

∴四邊形OEFN是矩形，

∵P（2，1），

∴OE＝FN＝1，PE＝2，

∴∠OEF＝∠EFN＝90°，

∴∠AEF＝∠BFE＝90°，

∵∠APB＝90°，

∴∠EAP+∠APE＝∠APE+∠BPF＝90°，

∴∠EAP＝∠BPF，

在△AEP與△PFB中

，

∴△AEP≌△PFB（AAS），

∴AE＝PF，PE＝BF＝2，

∴BN＝3，

∵BN＝3BM，

∴BM＝1，

∴MN＝4，

∴點M的縱坐標為4，

∴M（8，4），

∴PF＝AE＝6，

∴A（0，7），B（8，3），

設直線AB的解析式為：y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+7，

由得，

∴點Q的坐標為（7，）．

故答案為：（7，）．