Question

【題目】下面是小蕓設計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規作圖過程．

已知：⊙O及⊙O外一點P．

求作：⊙O的一條切線，使這條切線經過點P．

作法：①連接OP，作OP的垂直平分線l，

交OP于點A；

②以A為圓心，AO為半徑作圓，

交⊙O于點M；

③作直線PM，則直線PM即為⊙O的切線．

根據小蕓設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：連接OM，

由作圖可知，A為OP中點，

∴OP為⊙A直徑，

∴∠OMP＝　 　°，（　 　）（填推理的依據）

即OM⊥PM．

又∵點M在⊙O上，

∴PM是⊙O的切線．（　 　）（填推理的依據）

Answer 1

【答案】（1）補圖見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）按要求作圖.

（2）根據圓直徑的性質、切線的判定定理進行證明即可.

解：（1）補全圖形，如圖所示：

（2）證明：連接OM，

由作圖可知，A為OP中點，

∴OP為⊙A直徑，

∴∠OMP＝90°，（直徑所對的圓周角是直角），

即OM⊥PM．

又∵點M在⊙O上，

∴PM是⊙O的切線．（經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線），

故答案為：90，直徑所對的圓周角是直角，經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．