Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2﹣x﹣3，與x軸交于A和B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，過點A的直線與拋物線在第一象限的交點M的橫坐標為，直線AM與y軸交于點D，連接BC、AC．

（1）求直線AD和BC的解折式；

（2）如圖2，E為直線BC下方的拋物線上一點，當△BCE的面積最大時，一線段FG＝4（點F在G的左側）在直線AM上移動，順次連接B、E、F、G四點構成四邊形BEFG，請求出當四邊形BEFG的周長最小時點F的坐標；

（3）如圖3，將△DAC繞點D逆時針旋轉角度α（0°＜α＜180°），記旋轉中的三角形為△DA′C′，若直線A′C′分別與直線BC、y軸交于M、N，當△CMN是等腰三角形時，請直接寫出CM的長度．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1，y＝x﹣3；（2）F（，）；（3），，或．

【解析】

（1）令y=0，得x1=-1，x2=4，A（-1，0），B（4，0），令x=0，得C（0，-3），令x=，得y=，M（，），待定系數法可求直線AD、BC的解析式；

（2）點F是直線BC下方拋物線上的動點，△FBC面積最大值可以轉化為求二次函數最大值問題，設點F橫坐標為t，則可以將△FBC面積表示成t的二次函數，再應用配方法將二次函數化成頂點式，就可以求出△FBC面積最大時，F的坐標；四邊形BEFG周長的最大值實際上就是求EF+BG的最大值，通過軸對稱求線段和的最小值方法求解；

（3）△CMN是等腰三角形，必須分三種不同情況討論：①CM=CN，②CM=MN，③CN=MN．

解：（1）在拋物線y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝，得y＝＝，

∴M（，），

設直線AD的解析式為y＝k1x+b1，將A（﹣1，0），M（，）代入得，

解得，

∴直線AD的解析式為y＝x+1．

設直線BC的解析式為y＝k2x+b2，將B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，

解得，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3；

（2）如圖2，過點E作EH∥y軸交BC于H，

設E（t，），H（t，），

∴HE＝＝

∴＝＝＝

∵＜0，

∴當t＝2時，S△BCE的最大值＝6，此時E（2，），

作點B關于直線y＝x+1的對稱點B1，連接B1G，過點F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，

∴B1（﹣1，5），

∵FG＝4，且FG在直線y＝x+1上，

∴F可以看作是G向左平移4個單位，向下平移4個單位后的對應點，

∴B2（﹣5，1），

當B2、F、E三點在同一直線上時，BEFG周長最小，設直線B2E解析式為y＝mx+n，將B2（﹣5，1），E（2，）分別代入，得，

解得，

∴直線B2E解析式為y＝，

聯立方程組，

解得．

∴F（，）．

（3）如圖，分三種情況：

在中，令，則

,

設AC邊上的高為h，根據等面積法得，

且OB⊥OC，

①CM＝MN時，如圖，過點M作MG⊥OC，過點D作DP⊥MN于點P

∴設，則，

由勾股定理得，，

，即

解得，，（舍去）

②當時，如圖，過點M作MG⊥OC，過點D作DP⊥MN于點P

設，則

，解得：（舍去），，

；

③當時，如圖，作，，

設，則

，即，解得，（舍去），

；

④當時，過M作，過點D作DP⊥MN于點P

設，則

在中，

解得，（舍去）

.

綜上，CM的長為，，或.