Question

【題目】已知：二次函數y=﹣2x2+4x+m+1，與x軸的公共點為A，B．

（1）如果A與B重合，求m的值；

（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點：

①當m=﹣1時，求線段AB上整點的個數；

②若設拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）整點的個數為n，當1＜n≤8時，結合函數的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-3（2）①當m=﹣1時，線段AB上整點的個數有3個②﹣3＜m≤0

【解析】

（1）當A、B重合時，拋物線與x軸只有一個交點，此時△=0，從可求出m的值．

（2）①m=﹣1代入拋物線解析式，然后求出該拋物線與x軸的兩個交點的坐標，從而可求出線段AB上的整點個數.

②由圖象可得，即可求出m的取值范圍．

（1）∵A與B重合，

∴二次函數y=﹣2x2+4x+m+1的圖象與x軸只有一個公共點，

∴方程﹣2x2+4x+m+1=0有兩個相等的實數根，

∴△=42+4×2（m+1）=24+8m=0，

解得：m=﹣3．

∴如果A與B重合，m的值為-3．

（2）①當m=﹣1時，原二次函數為y=﹣2x2+4x+m+1=﹣2x2+4x，

令y=﹣2x2+4x=0，則x1=0，x2=2，

∴線段AB上的整點有（2，0）、（1，0）和（0，0）．

故當m=﹣1時，線段AB上整點的個數有3個．

②二次函數,

當時，

由點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）如圖：

當時，

∴

∴.