Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣1經過A（﹣0.5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，交y軸于點C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若點P是拋物線對稱軸上一動點，求使得PA+PC最小時P點的坐標；

（3）直線BC交x軸于點D，連結AC，若點P是y軸上一動點，且點P不與點C重合，是否存在點P，使得以P，B，C為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，確定點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣，﹣）；（3）（0，﹣3）或（0，﹣11）

【解析】

（1）把A（﹣0.5，0），B（﹣4，3）代入解析式即可求得結果；

（2）由（1）可得函數解析式，令y=0得到與x軸的交點，得出CD直線坐在的解析式，根據對稱的性質即可求解；

（3）由點B、C的坐標可得直線BC的表達式，可得△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，若以P，B，C為頂點的三角形與△ACD相似相似，則可分兩種情況考慮，①當∠BPC＝90°，②當∠PBC＝90°時，即可求解；

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣1經過A（﹣0.5，0），B（﹣4，3）兩點，

∴，

解得，

∴；

（2）由（1）知，令y＝0，得x1＝﹣2.8，x2＝﹣0.5，

又A（﹣0.5，0），

∴拋物線與x軸另一交點為E（﹣2.8，0），而點C（0，﹣1），

連接CE交函數對稱軸于點P，則點P為所求點，

∴由點C、D的坐標，可得直線CE表達式為：，

又拋物線對稱軸為直線，

∴使得PA+PC最小時P點的坐標為（﹣，﹣ ）；

（3）由點B、C的坐標可得，直線BC的表達式為：y＝x﹣1，故D（2，0），

∵tan∠ADC＝＝tan∠ACO，

∴∠ADC＝∠CAO，

又∠ODC+∠OCD＝90°，

∴∠ACO+∠OCD＝90°，

∴△ACD為直角三角形且∠ACD＝90°，

由點A、D的坐標得：AD＝2.5，

同理可得：AC＝，CD＝，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，

若以P，B，C為頂點的三角形與△ACD相似相似，則可分兩種情況考慮：

①當∠BPC＝90°，

即BP⊥y軸時，

△CPB∽△ACD，

∴P（0，﹣3）；

②當∠PBC＝90°時，

△CBP∽△ACD，

過點B作BF⊥y軸于點F，

在Rt△BFC中，BF＝4，CF＝2，

則BC＝，

∵，

∴，解得：PC＝10，

∴OP＝11，

∴P（0，﹣11），

綜合以上可得P點的坐標為（0，﹣3）或（0，﹣11）．