Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延長線上，BF⊥DC，垂足F在DC的延長線上．

（1）求證：四邊形BEDF是矩形；

（2）如圖2，若M、N分別為AD、BC的中點，連接EM、EN、FM、FN，求證：四邊形EMFN是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質和矩形的判定證明即可；
（2）利用平行四邊形的性質和矩形的性質得出BN=DM，BF=DE，∠NBF=∠MDE，進而證明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，進而證明四邊形EMFN是平行四邊形．

試題解析：

（1）∵平行四邊形ABCD，

∴AB∥CD，

∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，

∵DE⊥AB．BF⊥DC，

∴∠E=90°，∠F=90°，

∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，

∴四邊形BEDF是矩形；

（2）∵平行四邊形ABCD，四邊形BEDF是矩形，

∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，

∴∠ADC=∠BCF，

∴∠NBF=∠MDE，

∵M、N分別為AD、BC的中點，

∴BN=DM，

在△BNF與△DME中

∴△BNF≌△DME（SAS），

∴EM=FN，

同理可得：EN=MF，

∴四邊形EMFN是平行四邊形．