Question

（2012•泰州）如圖，已知一次函數y₁=kx+b圖象與x軸相交于點A，與反比例函數y2=

c

x

的圖象相交于B（-1，5）、C（

5

2

，d）兩點．點P（m，n）是一次函數y₁=kx+b的圖象上的動點．
（1）求k、b的值；
（2）設-1＜m＜

3

2

，過點P作x軸的平行線與函數y2=

c

x

的圖象相交于點D．試問△PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設m=1-a，如果在兩個實數m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）B、C兩點在反比例函數圖象上，根據反比例函數圖象上點的橫縱坐標的積相等，可求d的值，將B、C兩點坐標代入y₁=kx+b中，列方程組可求k、b的值；
（2）存在，根據直線解析式可求A點坐標，點P在直線上，點P（

3-n

2

，n），PD∥x軸，則D、P的縱坐標都是n，此時，D（-

5

n

，n），則PD=

3-n

2

+

5

n

，由S=

1

2

•n•PD，可求△PAD的面積表達式，利用二次函數的性質求最大值；
（3）點P（m，n）在一次函數圖象上，由一次函數解析式可知，設m=1-a，則P（1-a，2a+1），依題意m≠n，可知a≠0，根據a＞0和a＜0兩種情況，分別求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）將B點的坐標代入y₂=

c

x

，得c=-5，
則y₂=-

5

x

，
把x=

5

2

代入得y=-2，
則C（

5

2

，-2）
將B、C代入直線y₁=kx+b得：

k=-2 b=3

；

（2）存在．
令y₁=0，x=

3

2

，則A的坐標是：（

3

2

，0）；
由題意，點P在線段AB上運動（不含A，B），
設點P（

3-n

2

，n），
∵DP平行于x軸，
∴D、P的縱坐標都是n，
∴D的坐標是：（-

5

n

，n），
∴S=

1

2

•n•PD=

1

2

（

3-n

2

+

5

n

）×n=-

1

4

（n-

3

2

）²+

49

16

；
而-2m+3=n，得0＜n＜5；
所以由S關于n的函數解析式，所對應的拋物線開口方向決定，當n=

3

2

，即P（

3

4

，

3

2

），S的最大值是：

49

16

．

（3）由已知P（1-a，2a+1），易知，m≠n，1-a≠2a+1，a≠0；
若a＞0，m＜1＜n，由題設m≥0，n≤2，
則

1-a＜1 2a+1≤2

，
解不等式組的解集是：0＜a≤

1

2

；
若a＜0，n＜1＜m，由題設n≥0，m≤2，
則

1-a＞1 2a+1≥0

，
解得：-

1

2

≤a＜0；
綜上：a的取值范圍是：-

1

2

≤a＜0，0＜a≤

1

2

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．關鍵是根據反比例函數圖象上點的橫縱坐標積相等求C點坐標，由“兩點法”求直線解析式，根據平行于x軸直線上點的坐標特點，表示三角形的面積，根據二次函數的性質求最大值，本題還考查了分類討論的思想．