Question

【題目】如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處．

(1)連接CF，求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若E為BC中點，BC＝26，tan∠B＝，求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)EF＝10．

【解析】

(1)如圖1，利用折疊性質得EA＝EC，∠1＝∠2，再證明∠1＝∠3得到AE＝AF，則可判斷四邊形AECF為平行四邊形，從而得到四邊形AECF為菱形；

(2)作EH⊥AB于H，如圖，利用四邊形AECF為菱形得到AE＝AF＝CE＝13，則判斷四邊形ABEF為平行四邊形得到EF＝AB，根據等腰三角形的性質得AH＝BH，再在Rt△BEH中利用tanB＝＝可計算出BH＝5，從而得到EF＝AB＝2BH＝10．

(1)證明：如圖1，

∵平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處，

∴EA＝EC，∠1＝∠2，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝AF，

∴AF＝CE，

而AF∥CE，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵EA＝EC，

∴四邊形AECF為菱形；

(2)解：作EH⊥AB于H，如圖，

∵E為BC中點，BC＝26，

∴BE＝EC＝13，

∵四邊形AECF為菱形，

∴AE＝AF＝CE＝13，

∴AF＝BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

∴EF＝AB，

∵EA＝EB，EH⊥AB，

∴AH＝BH，

在Rt△BEH中，tanB＝＝，

設EH＝12x，BH＝5x，則BE＝13x，

∴13x＝13，解得x＝1，

∴BH＝5，

∴AB＝2BH＝10，

∴EF＝10．