Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的解析式和對稱軸；      
(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC是以AC為斜邊的Rt△時，求點P的坐標；
(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
(4)設過點A的直線與拋物線在第一象限的交點為N，當△ACN的面積為時，求直線AN的解析式.

Answer 1

（1）y=-x²+2x+3  (2) P₁(1,1),P₂(1,2)   (3)

解析試題分析：
解：（1）將三點代入y=ax²+bx+c中，易求解析式為：
對稱軸為：直線 
（2）設點P（1，y）是直線l上的一個動點，作CF⊥l于F，l交x軸于E，
則AC²＝AO²＋CO²＝10，CP²＝CF²＋PF²＝1＋（3－y）²＝
AP²＝AE²＋PE²＝4＋y², ∴由CP²＋AP²＝AC²，
得：＋4＋y²＝10，解得或
∴P點的坐標為P₁（1，1）、P₂（1, 2）
解法二; 用△相似解法更簡單如下：
∵CP⊥AP，∴△CPF∽△PAE，∴，∴∴解得或
（3）
設點M（1，m）, 與（2）同理可得：AC²＝10，CM²＝，AM²＝4＋m²
①當AC＝CM時，10＝，解得：m＝0或m＝6（舍去）
②當AC＝AM時，10＝4＋m², 解得：m＝或m＝
③當CM＝AM時，＝4＋m²，解得：m＝1
檢驗：當m＝6時，M、A、C三點共線，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點有4個，
M坐標為(1，0) 、(1，)、(1，－)、(1，1)

(4)設直線AN的解析式為，且交y軸于點K，∵過點A（―1, 0），∴，
∴K（0，k），∵N是直線AN與拋物線的交點，∴，解得x＝3―k，
或x＝―1（舍去），∴N點的橫坐標為x＝3―k（k＜3）  
由S_△ACN＝S_△ACK＋S_△CKN＝CK·OA＋CK·NJ＝（3―k）×1＋（3―k）²
＝
令＝，解得k＝（舍去），或k＝，
∴直線AN的解析式為
考點：一次函數，二次函數圖像及性質，相似三角形判定及性質，三角形面積公式，等腰三角形性質。
點評：熟知上述性質概念，本題綜合性很強，運用的知識點很多，要認真審題才可解之，還需做輔助線求得，在二問中有兩個答案易漏求，求得方法也不唯一，三問中可求有五個點，有一個不合題意需舍去，四問中同樣也有一個要舍去，計算量較多，易出錯，難度較大，屬于難題。