Question

【題目】在中，，將繞點順時針旋轉至，點的對應點分別是，連接線段與線段交于點M，連接．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖1，求證：OM平分；

（3）如圖2，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）

【解析】

（1）根據旋轉的性質及OA＝OB可得OA＝OC＝OB＝OD，∠AOC＝∠BOD，然后根據“SAS”證明△AOC≌△BOD即可得證；

（2）過點O作OE⊥AC，OF⊥BD，利用等積法可得OE＝OF，再根據“HL”可證得Rt△MOE≌Rt△MOF即可得證；

（3）過點M作MH⊥AO，由可得∠OAC＝∠ODB＝45°，進而可證得△AOM≌△DOM，則∠MOD＝∠MOA，利用及 可得∠MOA＝60°，設OH＝x，利用30°、45°的直角三角形的性質及勾股定理可表示出MO、MH、AH、AM的長，根據列出方程求解，進而可求得CM的長．

（1）證明：∵旋轉，

∴OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD，

∵OA＝OB，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

在△AOC與△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC＝BD；

（2）證明：過點O作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分別為E、F，

∵△AOC≌△BOD，

∴S△AOC＝S△BOD，

∵OE⊥AC，OF⊥BD，

∴，

∵AC＝BD，

∴OE＝OF，

∵OE⊥AC，OF⊥BD，

∴∠MEO＝∠MFO＝90°，

在Rt△MOE與Rt△MOF中，

∴Rt△MOE≌Rt△MOF（HL），

∴∠OME＝∠OMF，

∴OM平分；

（3）解：過點M作MH⊥AO，垂足為點H，

∵，OA＝OC，OB＝OD，

∴∠OAC＝∠ODB＝45°，

在△AOM與△DOM中，

∴△AOM與△DOM（AAS），

∴∠AOM ＝∠DOM，

∵∠BOD＝，∠AOB＝30°，

∴∠AOM ＝∠DOM＝60°，

∵MH⊥AO，

∴∠MHO＝∠MHA＝90°，

∴在Rt△MHO中，∠OMH＝30°，

設OH＝x，則MO＝2OH＝2x，

∴，

∴在Rt△MHA中，∠HAM＝45°，

∴AH＝MH＝，

∴，

∵,

∴

解得：x＝2，

∴，

在Rt△AOC中，，

∴，

∴CM的長為．