Question

【題目】若一次函數的圖象與軸，軸分別交于A，C兩點，點B的坐標為，二次函數的圖象過A，B，C三點，如圖（1）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖（1），過點C作軸交拋物線于點D，點E在拋物線上（軸左側），若恰好平分．求直線的表達式；

（3）如圖（2），若點P在拋物線上（點P在軸右側），連接交于點F，連接，．

①當時，求點P的坐標；

②求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點或；②

【解析】

（1）先求的點A、C的坐標，再用待定系數法求二次函數的解析式即可；

（2）設交于點M．由可得，．再由，根據平行線的性質可得，所以．已知平分，根據角平分線的定義可得．利用AAS證得．由全等三角形的性質可得． 由此即可求得點M的坐標為（0，-1）．再由，即可求得直線解析式為；

（3）①由可得．過點P作交于點N，則．根據相似三角形的性質可得．由此即可求得．設，可得．所以．由此即可得=2，解得．即可求得點或；②由①得．即．再根據二次函數的性質即可得．

（1）解：令，得．令時，．

∴．

∵拋物線過點，

∴．

則，將代入得

解得

∴二次函數表達式為．

（2）解：設交于點M．

∵，

∴，．

∵，

∴．

∴．

∵平分，

∴．

又∵，

∴．

∴．

由條件得：．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴直線解析式為．

（3）①，

∴．

過點P作交于點N，則．

∴．

∵，

∴．

∵直線的表達式為，

設，

∴．

∴．

∴，則，解得．

∴點或．

②由①得：．

∴．

∴有最大值，．