Question

【題目】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙C與對角線BD相切．

（1）如圖1，求⊙C的半徑；

（2）如圖2，點P是⊙C上一個動點，連接AP，AC，AP交⊙C于點Q，若sin∠PAC＝，求∠CPA的度數和弧PQ的長；

（3）如圖，對角線AC與⊙C交于點E，點P是⊙C上一個動點，設點P到直線AC的距離為d，當0＜d≤時，請直接寫出∠PCE度數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）60°，；（3）0°＜∠PCE≤60°或120°≤∠PCE＜180°

【解析】

（1）先利用勾股定理求出BD，再用三角形的面積公式求解即可得出結論；

（2）先根據三角函數求出CM和∠CPM，進而求出∠PCQ，最后用弧長公式計算即可得出結論；

（3）先判斷出0＜CN≤，再利用三角函數求出分界點CN＝時的∠PCE的度數，即可得出結論．

（1）如圖1，在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，∠BCD＝90°，

設切點為H．連接CH，

∵ BD與⊙C相切于H，

∴ CH⊥BD，

根據勾股定理得，BD＝，

∵ S△BCD＝BCCD＝BDCH，

∴ CH＝，

即⊙C的半徑為；

（2）如圖2，連接CP，CQ，過點C作CM⊥AP于M，

∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ AC＝BD＝5，

在Rt△ACM中，sin∠PAC＝，

∴ CM＝，

在Rt△CMP中，sin∠CPM＝，

∴∠CPM＝60°，

即∠CPA＝60°，

∵ CP＝CQ，

∴ △CPQ是等邊三角形，

∴ ∠ PCQ＝60°，

∴ 弧PQ的長為；

（3）如圖備用圖，過點P作PP'∥AC，過點C作CN⊥PP'于N，

則∠PCN＝∠P'CN，∠ECN＝∠CNP＝90°，

∴ 點P到AC的距離d＝CN，

∵ 0＜d≤，

∴ 0＜CN≤，

當CN＝0時，點P在直線AC上，∠PCE＝0°，

當CN＝時，連接CP，CP'，

在Rt△P'CN中，cos∠P'CN＝＝＝，

∴ ∠P'CN＝30°，

∴ ∠PCN＝∠P'CN＝30°

∴ ∠P'CE＝∠ECN﹣∠P'CN＝60°，∠PCE＝∠ECN+∠PCN＝120°，

∴ ∠PCE度數的取值范圍為0°＜∠PCE≤60°或120°≤∠PCE＜180°