Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，動點M從A點出發，以每秒1個單位長度的速度沿著AC方向向C點運動，動點N從C點出發，以每秒2個單位長度的速度沿著CB方向向B點運動，如果M，N兩點同時出發，當M到達C點處時，兩點都停止運動，設運動的時間為t秒，四邊形AMNB的面積為S．

（1）用含t的代數式表示：CM＝　 　，CN＝　 　．

（2）當t為何值時，△CMN與△ABC相似？

（3）求S和t的關系式（寫出自變量t的取值范圍）；當t取何值時，S的最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）CM＝6﹣t，CN＝2t；（2）t為3或1.2；（3）（t-3）2+27（0＜t＜6），t＝3，27

【解析】

（1）先由運動得出AM＝t，CN＝2t，繼而得出CM，即可得出結論；

（2）分兩種情況，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解，即可得出結論；

（3）利用三角形的面積的差即可得出結論．

解：（1）由運動知，AM＝t，CN＝2t，

∵AC＝6，

∴CM＝AC﹣AM＝6﹣t，

故答案為：6﹣t，2t；

（2）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，

①當△CMN∽△CAB時，

∴，

∵AC＝6，BC＝12，

∴，

∴t＝3，

②當△CMN∽△CBA，

∴，

∴，

∴t＝1.2，

即：t為3或1.2時，△CMN與△ABC相似；

（3）由（1）知，CM＝6﹣t，CN＝2t，

∴S四邊形AMNB＝S△ABC﹣S△CMN＝×6×12﹣×2t×（6﹣t）＝（t-3）2+27（0＜t＜6），

當t＝3時，S四邊形AMNB最小＝27