Question

已知：∠MAN=30°，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D、E兩點，設AD為x．
（1）如圖1，當x為何值時，⊙O與AM相切；
（2）如圖2，當x為何值時，⊙O與AM相交于B、C兩點，且∠BOC=90°．

Answer 1

分析：（1）過O作OF⊥AM于F，根據切線的概念，切線到圓心的距離等于半徑故當OF=r=2時，⊙O與AM相切，然后解直角三角形求得AD的值；
（2）過O點作OG⊥AM于G，證得△OBC，△BGO與△CGO是等腰直角三角形，再解直角三角形，求得AD的值．

解答：解：（1）如圖1，過O作OF⊥AM于F，
當OF=r=2時，⊙O與AM相切，
此時OA=OF÷sin30°=4，
故x=AD=2；

（2）如圖2，過O點作OG⊥AM于G
當∠BOC=90°，
∵OB=OC=2，
∴BC=2

2

又∵OG⊥BC，
∴BG=CG=

2

，
∴OG=

1

2

BC=

2

，
又∵∠A=30°，
∴OA=2

2

，
∴x=AD=2

2

-2．

點評：本題利用了切線的概念，等腰直角三角形的判定和性質，垂徑定理，正弦的定義等知識求解．