Question

【題目】如圖1．拋物線經過點點在拋物線上，且在軸的上方，點的橫坐標記為．

（1）求拋物線的解析式：

（2）如圖2．過點作軸的平行線交直線于點．交軸于點，若平分，求的值：

（3）點在直線上．點在軸上，且位于點的上方，那么在拋物線上是否存在點，使得以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）設拋物線的解析式為，將點C（0,3）代入即可解答；

（2）求出直線AC的解析式為，設P的橫坐標為t，則，根據平行線的性質以及角平分線的定義得到，根據勾股定理列出方程即可求出t的值；

（3）分兩種情況：①當CE為對角線時，四邊形CPED為菱形，如圖3，則點P和點D關于y軸對稱；②當CE為菱形的邊時，四邊形CEPD為菱形，如圖4，則PD∥y軸，CD=PD，分別構建方程即可解決問題．

解：（1）∵拋物線經過點，

∴設拋物線的解析式為，

把代入得到

拋物線的解析式為，

即

（2）如圖2中

設直線AC的解析式為y=kx+p，將代入得：

，解得k=，p=3，

直線的解析式為

的橫坐標為，

平分，

，

，

，

，解得或t=0（舍去）

的值為

（3）設，

①當CE為對角線時，四邊形CPED為菱形，如圖3，則點P和點D關于y軸對稱，

∴點，

將代入中得：

，

解得：（舍去）

此時P（-2，），

∴PD=4，CE=2×（-3）=3

∴菱形的面積=；

②當CE為菱形的邊時，四邊形CEPD為菱形，如圖4，則PD∥y軸，CD=PD，

∴，

∴PD=

而，

∴，

∴，解得：（舍去），

∴PD=，

此時菱形的面積=．

綜上所述，菱形的面積是或．