Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象過點A（3，0），對稱軸為直線x＝1，給出以下結論：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）為函數圖象上的兩點，則y1＞y2．④若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整數根，則p的值2個．有其中正確的有（　　）個．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

∵拋物線開口向下，∴a＜0；

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1＞0，∴b＞0；

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，

∴abc＜0，故①正確；

∵當x＝1時，函數有最大值，

∴a+b+c≥ax2+bx+c，故②正確；

∵拋物線的對稱軸是x＝1，則M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在對稱軸右側，n2+1＜n2+2，

∴y1＞y2，故③正確；

∵拋物線的對稱軸是x＝1，與x軸的一個交點是（3，0），

∴拋物線與x軸的另個交點是（﹣1，0），

把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴9a﹣6a+c＝0，

解得，c＝﹣3a．

∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），

∴頂點坐標為（1，﹣4a），

由圖象得當0＜y≤﹣4a時，﹣1＜x＜3，其中x為整數時，x＝0，1，2，

又∵x＝0與x＝2關于直線x＝1軸對稱

當x＝1時，直線y＝p恰好過拋物線頂點．

所以p值可以有2個．故④正確；

故選：D．