Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）求出四邊形ABPC的面積最大時的P點坐標和四邊形ABPC的最大面積；

（3）在直線BC找一點Q，使得△QOC為等腰三角形，寫出Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P點的坐標為（，﹣），四邊形ABPC的面積的最大值為；（3）Q點坐標為（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．

【解析】

(1)把B、C兩點的坐標代入二次函數y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函數的解析式;

(2)過點P作y軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點E,設P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直線BC的解析式為y=x﹣3，則Q點的坐標為（x，x﹣3）,再根據S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結論；

（3）分當OC=QC時，當OC=QO時，當QC=QO時三種情況求解即可.

解：（1）將B、C兩點的坐標代入得，

解得：；

所以二次函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）如圖，過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，

設P（x，x2﹣2x﹣3），設直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

則Q點的坐標為（x，x﹣3）；

由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，

∴AO=1，AB=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×4×3+（﹣x2+3x）×3

=﹣（x﹣）2+．

當x=時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為（，﹣），四邊形ABPC的面積的最大值為；

（3）設點Q的坐標為（m，m﹣3），

∵O（0，0），C（0，﹣3），

∴OC=3，QC==|m|，QO=．

△QOC為等腰三角形分三種情況：

①當OC=QC時，3=|m|，

解得：m=±，

此時點Q的坐標為（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；

②當OC=QO時，3=，

解得：m=3或m=0（舍去），

此時點Q的坐標為（3，0）；

③當QC=QO時，有|m|=，

解得：m=，

此時點Q的坐標為（，﹣）．

綜上可知：Q點坐標為（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．