Question

【題目】如圖，等邊的邊長為3，點在邊上，，線段在邊上運動，，有下列結論：

①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長的最小值為．其中，正確結論的序號為（ ）

A.①④B.②④C.①③D.②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①通過分析圖形，由線段在邊上運動，可得出，即可判斷出與不可能相等；

②假設與相似，設，利用相似三角形的性質得出的值，再與的取值范圍進行比較，即可判斷相似是否成立；

③過P作PE⊥BC于E，過F作DF⊥AB于F，利用函數求四邊形面積的最大值，設，可表示出，，可用函數表示出，，再根據，依據，即可得到四邊形面積的最大值；

④作點D關于直線的對稱點D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時四邊形P′CDQ′的周長為：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．

解：①∵線段在邊上運動，，

∴,

∴與不可能相等，

則①錯誤；

②設，

∵，，

∴，即，

假設與相似，

∵∠A=∠B=60°，

∴，即，

從而得到，解得或（經檢驗是原方程的根），

又，

∴解得的或符合題意，

即與可能相似，

則②正確；

③如圖，過P作PE⊥BC于E，過D作DF⊥AB于F，

設，

由，，得，即，

∴，

∵∠B=60°，

∴，

∵，∠A =60°，

∴,

則，

，

∴四邊形面積為：,

又∵，

∴當時，四邊形面積最大，最大值為：，

即四邊形面積最大值為，

則③正確；

④如圖，作點D關于直線的對稱點D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，

此時四邊形P′CDQ′的周長為：，其值最小，

∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，

且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，

∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，

在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，

∴，

在Rt△AD2C中，

由勾股定理可得，，

∴四邊形P′CDQ′的周長為：

，

則④錯誤，

所以可得②③正確，

故選：D．