Question

【題目】在正方形ABCD中，DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，點G在線段AD上，過點G作PG⊥DE于點P，連接CP，過點D作DQ⊥PC于點Q，交射線PG于點H．

（1）如圖1，若點G與點A重合．
①依題意補全圖1；
②判斷DH與PC的數量關系并加以證明；
（2）如圖2，若點H恰好在線段AB上，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路（可以不寫出計算結果）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①依題意補全圖1，如圖1所示：

②DH=PC，理由如下：

∵DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，

∴∠EDF=∠ADE=45°，

∵PG⊥DE于點P，

∴∠DAP=45°，

∴∠HAD=135°，∠PDC=135°，

∴∠HAD=∠PDC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=CD，

∵DQ⊥PC，

∴∠CDQ+∠DCQ=90°，

∵∠ADQ+∠CDQ=90°，

∴∠ADQ=∠DCQ，

在△HAD和△PDC中，

，

∴△HAD≌△PDC（ASA），

∴DH=CP

（2）解：求DP長的思路如下：如圖2所示：

a、與②同理得：∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，

∴△HGD∽△PDC；

b、由②可知△GPD為等腰直角三角形，

∴∠AGH=∠PGD=45°，

∴△AGH為等腰直角三角形，

設DP=PG=x，則GD= x，AG=1﹣ x，GH= ﹣2x；

c、由△HGD∽△PDC得： ，

即 ，

解得：x= （負值舍去），

∴DP=

【解析】（1）①依題意補全圖形即可。
②由正方形的性質和角平分線得出∠EDF=∠ADE=45°，再證出∠HAD=∠PDC，∠ADQ=∠DCQ，根據ASA證明△HAD≌△PDC，得出對應邊相等即可。
（2）思路如下：a、與②同理可證∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，可證△HGD∽△PDC；b、由②可知△GPD為等腰直角三角形，根據已知條件易證△AGH為等腰直角三角形，可設DP=PG=x，用含x的代數式分別表示出GD、AG、GH的長。c、由△HGD∽△PDC得出比例式，解方程即可求得DP的長。
【考點精析】掌握角的平分線和正方形的性質是解答本題的根本，需要知道從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．