Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知AB＝AC，延長CD至點E，使CE＝BD，連結AE．

（1）求證：AD平分∠BDE；

（2）若AB∥CD，求證：AE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）證明見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質得到∠ADE=∠ADB，根據角平分線的定義即可得到結論；
（2）根據平行線的性質得到∠ADE=∠DAB，求得∠BAD=∠ADB，根據垂徑定理得到AT⊥BC，根據平行四邊形的性質得到AE∥BC，于是得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O

∴∠ABC＋∠ADC＝180°

∴∠ABC＝∠ADE

∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB

∵∠ACB＝∠ADB

∴∠ADB＝∠ADE

∴AD平分∠BDE

（2）解： AB∥CD，
∴∠ADE=∠DAB，

∵∠ADB=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD

∵CE＝BD，
∴AB=CE

∵AC=AB，

連接OA并延長交BC于T

∴AT⊥BC，
∵AB∥CE，AB=CE
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴AE∥BC，
∴AT⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．