Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(0，m)，且m≠0，點B的坐標為(n，0)，將線段AB繞點B旋轉90°，分別得到線段B P1，B P2，稱點P1，P2為點A關于點B的“伴隨點”，圖1為點A關于點B的“伴隨點”的示意圖．

(1)已知點A(0，4)，

①當點B的坐標分別為(1，0)，(-2，0)時，點A關于點B的“伴隨點”的坐標分別為 ；

②點（x，y）是點A關于點B的“伴隨點”，直接寫出y與x之間的關系式；

(2)如圖2，點C的坐標為(-3，0)，以C為圓心， 為半徑作圓，若在⊙C上存在點A關于點B的“伴隨點”，直接寫出點A的縱坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（-3，-1），（5，1）；（-6，2），（2，-2）；②y=x-4或y=-x-4.

（2）-5≤m≤-1或1≤m≤5

【解析】試題分析：(1)①作 ⊥x軸于點M，作⊥x軸于點N，根據已知條件易證≌ ≌，根據全等三角形的性質可得=OB= ，OA=BM=BN，根據A(0，4)，當點B的坐標為(1，0)時，即可求得點A關于點B的“伴隨點”的坐標分別為（-3，-1），（5，1）；根據A(0，4)，當點B的坐標為(-2，0)時，即可求得點A關于點B的“伴隨點”的坐標分別為（-6，2），（2，-2）；②由①可知，x=y+4或-x-y=4，即可得y與x之間的關系式為y=x-4或y=-x-4；（2）設點A的坐標為（0，m），點（x，y）是點A關于點B的“伴隨點”，由（1）的方法可得y=x-m或y=-x-m，當直線y=x-m相切時，如圖（圖中的紅線），根據直線y=x-m與x軸、y軸所圍成的三角形為等腰直角三角形、切線的性質。勾股定理可求得m=1，或m=5，即可得1≤m≤5，當直線y=-x-m相切時，如圖（圖中的藍線），同理可得-5≤m≤-1，所以點A的縱坐標m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5.

試題解析：

（1）①（-3，-1），（5，1）；（-6，2），（2，-2）.

②y=x-4或y=-x-4.

（2）-5≤m≤-1或1≤m≤5