Question

【題目】經過頂點的一條直線，．分別是直線上兩點，且．

（1）若直線經過的內部，且在射線上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若，，

則 ； （填“”，“”或“”）；

②如圖2，若，請添加一個關于與關系的條件 ，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立．

（2）如圖3，若直線經過的外部，，請提出三條線段數量關系的合理猜想（不要求證明）．

Answer 1

【答案】（1）①；；

②所填的條件是：．

證明：在中，．

，．

又，．

又，，

．

，．

又，．

（2）．

【解析】

（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因為EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；

②只有滿足△BEC≌△CDA，才有①中的結論，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形內角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．

（2）只要通過條件證明△BEC≌△CFA（可通過ASA證得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．