Question

【題目】如圖，直角△ABC中，∠A為直角，AB＝6，AC＝8．點P、Q、R分別在AB、BC、CA邊上同時開始作勻速運動，2秒后三個點同時停止運動，點P由點A出發以每秒3個單位的速度向點B運動，點Q由點B出發以每秒5個單位的速度向點C運動，點R由點C出發以每秒4個單位的速度向點A運動，用t（秒）（0≤t≤2）表示運動時間，在運動過程中：

（1）當t為何值時，△APR的面積為4；

（2）求出△CRQ的最大面積；

（3）是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或秒；（2）當t＝1時，S△CQR最大＝6；（3）t的值為1秒或秒．

【解析】

（1）由運動得出AP＝3t，AR＝8﹣4t，最后用三角形面積公式建立方程求解即可得出結論；

（2）先構造出直角三角形表示出QD，最后用三角形面積公式即可得出結論；

（3）先判斷出△BFP∽△BAC，得出FP＝（6﹣3t），BF＝（6﹣3t），進而FQ＝BQ﹣BF＝5t﹣（6﹣3t）＝

同理：EQ＝，RE＝，再判斷出△REQ∽△QFP．得出，用RE×FP＝QF×EQ建立方程求解即可得出結論．

（1）由運動知，AP＝3t，CR＝4t，

∴AR＝8﹣4t，

∴S△APR＝APAR＝×3t×（8﹣4t）＝12t﹣6t2＝4，

解得t＝或t＝

∴當t為或秒時，△APR的面積為4；

（2）如圖1，過點Q作QD⊥AC于D，

在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，根據勾股定理得，BC＝10，

∴sinC＝，

由運動知，BQ＝5t，CR＝4t，

∴CQ＝BC﹣BQ＝10﹣5t，

∴在Rt△CDQ中，QD＝CQsinC＝（10﹣5t）＝6﹣3t，

∴S△CQR＝CRQD＝×4t×（6﹣3t）＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6，

∵0≤t≤2，

∴當t＝1時，S△CQR最大＝6；

（3）存在，如圖2，過點R作RE⊥BC于E，過點P作PF⊥BC于F，

由題意知，CR＝4t，BQ＝5t，AP＝3t，

∴BP＝6﹣3t，

∵∠BFP＝∠A＝90°，∠B＝∠B，

∴△BFP∽△BAC，

∴，

∴，

∴FP＝（6﹣3t），BF＝（6﹣3t），

∴FQ＝BQ﹣BF＝5t﹣（6﹣3t）＝

同理：EQ＝，RE＝，

∵∠REQ＝∠QFP＝90°，

∴∠ERQ+∠EQR＝90°，

∵∠PQR＝90°，

∴∠EQR+∠PQF＝90°，

∴∠ERQ＝∠PQF，

∴△REQ∽△QFP．

∴，

∴RE×FP＝QF×EQ，

∴×（6﹣3t）＝×，

解得，t＝1或t＝

∴t的值為1秒或秒．