Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣（x﹣3a）（x+a）交x軸分別于點A、B（點B在x軸負半軸，OA＞OB），交y軸于點C，OC＝4OB，連接AC，點P從點A出發向點O運動，點Q從點A出發向點C運動．

（1）求a的值；

（2）點P、Q都以每秒1個單位的速度運動，運動t秒時，點A關于直線PQ對稱的點E恰好在拋物線上，求t的值；

（3）點P以每秒1個單位的速度運動，點Q以每秒個單位的速度運動，直線PQ交拋物線于點M，當△CMA的內心在直線PQ上時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）；（3）點M的坐標為（，5）

【解析】

（1）由題意，可求得A（3a，0），B（﹣a，0），C（0，4a2），因為OC＝4OB，得4a2＝4a，即可得出a的值；

（2）作EH⊥AB于H，證明四邊形PAQE為菱形，可得tan∠EPH＝tan∠CAO＝，設EH＝4m，PH＝3m，則PA＝PE＝5m，所以點E的坐標為（3﹣8m，4m），代入拋物線y＝﹣（x﹣3）（x+1），求得m的值，即可得出t的值；

（3）連接MA，MC，作CH⊥MP于H，設運動時間為t秒，則AP＝t，AQ＝，可得PM∥CO，當△CMA的內心在直線PQ上時，證明△CHM∽△APM，得，即，解方程求得x的值，即可得出點M的坐標．

解：（1）∵拋物線y＝﹣（x﹣3a）（x+a）交x軸分別于點A、B（點B在x軸負半軸，OA＞OB），

當y＝0時，x＝3a或x＝﹣a，

當x＝0時，y＝4a2

∴A（3a，0），B（﹣a，0），C（0，4a2），

∵OC＝4OB，

∴4a2＝4a，

∴a＝1或a＝0（舍去），

∴a＝1．

（2）如圖1，作EH⊥AB于H，

∴點A關于直線PQ對稱的點E恰好在拋物線上，

∴PA＝PE，QA＝QE，

∵AP＝AQ＝t，

∴PA＝PE＝QE＝QA，

∴四邊形PAQE為菱形，

∴EP∥AC，

∴∠EPH＝∠CAO，

∵A（3，0），C（0，4），

∴tan∠EPH＝tan∠CAO＝，

設EH＝4m，PH＝3m，則PA＝PE＝5m，

∴點E的坐標為（3﹣8m，4m），

代入拋物線y＝﹣（x﹣3）（x+1），得4m＝×（﹣8m）×（4﹣8m），

∵m＞0，解得m＝，

∴t＝5a＝ ；

（3）如圖2，連接MA，MC，作CH⊥MP于H，

設運動時間為t秒，則AP＝t，AQ＝，

∴，

∴PM∥CO，

當△CMA的內心在直線PQ上時，有∠CMH＝∠AMP，

∵∠CHM＝∠APM＝90°，

∴△CHM∽△APM，

∴，

∴，

化簡，得，解得x＝，

∴y＝

∴點M的坐標為（，5）．