Question

【題目】如圖，二次函數y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常數a＜0，m＞0）的圖象與x軸分別交于A、B（點A位于點B的右側），與y軸交于點C（0，3），點D在二次函數的圖象上，CD∥AB，連結AD．過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E，AB平分∠DAE．

（1）求a與m的關系式；

（2）求證：為定值；

（3）設該二次函數的圖象的頂點為F．探索：在x軸的正半軸上是否存在點G，連結GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）am2＝﹣1；（2）證明見解析；（3）存在，點G的橫坐標為3m．

【解析】

（1）將點C的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）證明RtADM△∽Rt△ANE，求出點E（x，），將點E的坐標代入拋物線表達式，得到E（﹣4m，﹣5），即可求解；

（3）求出點F（﹣m，4），得到直線FC的表達式，求出點G（3m，0），即可求解．

解：（1）將點C的坐標代入拋物線表達式得：﹣3am2＝3，

解得：am2＝﹣1；

（2）對于二次函數y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，則x＝m或﹣3m，

∴函數的對稱軸為：x＝﹣m，

∵CD∥AB，

∴點D、C的縱坐標相同，故點D（﹣2m，3），

故點A、B的坐標分別為：（m，0）、（﹣3m，0），

設點E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），

分別過點D、E作x軸的垂線，垂足分別為M、N，

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM＝∠EAN，

∴RtADM△∽Rt△ANE，

∴，即，

解得：y＝，

故點E（x，），

將點E的坐標代入拋物線表達式并解得：x＝﹣4m，

則y＝＝﹣5，

故點E（﹣4m，﹣5），

故＝＝為定值；

（3）存在，理由：

函數的對稱軸為x＝﹣m，當x＝﹣m時，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即點F（﹣m，4），

由點F、C的坐標得，直線FC的表達式為：y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3m，即點G（3m，0），

GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，

同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，

故AE2＝AD2+GF2，

GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，

點G的橫坐標為3m．