Question

【題目】已知直線y＝kx＋3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．

（1）當k＝－1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．

①直接寫出t＝1秒時C、Q兩點的坐標；

②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．

（2）當k＝時，設以C為頂點的拋物線y＝（x＋m）2＋n與直線AB的另一交點為D（如圖2），

①求CD的長；

②設△COD的OC邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0），②滿足條件的t的值是1.5秒或2秒；（2）①CD=，

②當t為秒時，h的值最大.

【解析】整體分析：

（1）①把x=1代入直線y=-x+3得到點C坐標，求出OQ的長得到點Q的坐標；②需要分兩種情況討論；（2）①過點D作DE⊥CP于點E，通過△DEC∽△AOB求CD的長；②因為CD的長和CD上的高確定，所以△OCD的面積確定，則h越大，OC就越小，當OC⊥AB時，OC最小，h最大，求出此時OP的長即可.

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）.

②由題意得：P（t，0），C（t，－t＋3），Q（3－t，0）.

分兩種情況討論：

情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，∴點P與點Q重合，OQ＝OP，

即3－t＝t，∴t＝1.5.

情形二：當△AQC∽△AOB時，∠ACQ＝∠AOB＝90°，

∵OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即t＝2（－t＋3），

∴t＝2.

∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．

（2）①由題意得：C（t，）

∴以C為頂點的拋物線解析式是y＝(x－t)2，由(x－t)2＝，

解得x1＝t，x2＝t－．

過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC＝∠AOB＝90°.

∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

∴△DEC∽△AOB.

∴.

∵AO＝4，AB＝5，DE＝t—（t—）＝，

∴CD＝.

②∵CD＝，CD邊上的高＝，

∴S△COD＝，∴S△COD為定值．

要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，

因為當OC⊥AB時OC最短，此時OC的長為，∠BCO＝90°.

∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC＝∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽Rt△OAB.

∴，OP＝，即t＝.

∴當t為秒時，h的值最大．