Question

如圖，下列立體圖形是由若干個(gè)棱長是1的小立方體按一定的規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面
都涂上顏色（底面不涂色），觀察該圖，探究其中的規(guī)律．
（1）第1個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體有

4

個(gè)；第3個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體有

20

個(gè)．
（2）設(shè)第n個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)為M，請用含有字母n的代數(shù)式表示M；
（3）求出第10個(gè)幾何體中沒有涂色的小立方體的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）第1個(gè)幾何體中最底層的4個(gè)角的小立方體只有2個(gè)面涂色；第3個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有5×4=20個(gè)；
（2）根據(jù)所給圖形中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)得到第n個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)與4的倍數(shù)的關(guān)系即可；
（3）總數(shù)去掉最外層即可得到?jīng)]有涂色的正方體的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）觀察圖形可得第1個(gè)幾何體中最底層的4個(gè)角的小立方體只有2個(gè)面涂色；第3個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有5×4=20個(gè)，
故答案為：4，20；

（2）觀察圖形可知：圖①中，兩面涂色的小立方體共有4個(gè)；
圖②中，兩面涂色的小立方體共有12個(gè)；
圖③中，兩面涂色的小立方體共有20個(gè)．
4，12，20都是4的倍數(shù)，可分別寫成4×1，4×3，4×5的形式，
因此，第n個(gè)圖中兩面涂色的小立方體共有4（2n-1）=8n-4，
∴M=8n-4 （n為正整數(shù)）；

（3）第10個(gè)幾何體中沒有涂色的小正方體有9×9×10=810個(gè)小正方體．

點(diǎn)評：考查圖形的變化規(guī)律；得到所求塊數(shù)與4的倍數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．