Question

我們知道，利用三角形全等可以證明兩條線段相等．但是我們會(huì)碰到這樣的“和差”問題：“如圖①，AD為△ABC的高，∠ABC=2∠C，證明：CD=AB+BD”．我們可以用“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”的方法將這類問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題：在CD上截取DE=BD，連結(jié)AE．
（1）請(qǐng)補(bǔ)寫完這個(gè)證明：
（2）運(yùn)用上述方法證明：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，證明：BD=AC-AB．

Answer 1

分析：（1）在CD上截取DE=BD，連結(jié)AE，推出AB=AE，根據(jù)∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EAC求出∠C=∠EAC，推出EC=AE=AB，即可得出答案．
（2）證△BAD≌△EAD，推出DE=BD，∠B=∠AED，推出∠C=∠EDC，求出DE=EC=DB，即可得出答案．

解答：（1）證明：在CD上截取DE=BD，連結(jié)AE，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠C=∠EAC，
∴EC=AE=AB，
∴CD=CE+DE=AB+BD．

（2）證明：在AC上截取AE=AB，連接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△BAD和△EAD中

AD=AD ∠1=∠2 AB=AE

∴△BAD≌△EAD，
∴DE=BD，∠B=∠AED，
∵∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=EC=DB，
∵AC-AE=EC，EC=BD，AE=AB，
∴BD=AC-AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作出輔助線．