Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC且tanA= ，P為BC上一點，且BP：PC=3：5，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EPF=2∠B，若△EPF的面積為6，則EF=________．

Answer 1

【答案】2

【解析】

由∠B=∠C、∠A+∠B+∠C=180°,知∠A+2∠B=180°，由∠β=2∠B得∠A+∠β=180°，根據四邊形內角和得∠3+∠4=180°，繼而由∠4+∠1=180°知∠3=∠1，再分兩種可能：①∠3=∠4=90°，結合∠B=∠C可得△PBE∽△PFC，從而得知 ②∠3≠∠4，以P為圓心，PF為半徑畫弧交CF于點G，證△PBE∽△PCG得作FD⊥EP，由∠β+∠A=∠β+∠α=180°知∠A=∠α，從而得tanA=tanα= 故可設FD=4x，則PD=3x，求出PF=PG=5x，PE=3x，根據,可得x的值，從而得出DE、DF的長，即可得答案．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵

∴

如圖所示，

∵∠β=∠EPF=2∠B，

∴

∵

∴

∵

∴∠3=∠1，

若

∵∠B=∠C，

∴△PBE∽△PFC，

∴

若∠3≠∠4，不放設∠4>∠3，則可以P為圓心，PF為半徑畫弧交CF于點G，

∴PF=PG，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠1，

∴∠3=∠2，

∴∠5=∠6，

∴△PBE∽△PCG，

∴

作FD⊥EP于點D，

∵

∴∠A=∠α，

∵tanA=tanα=

設FD=4x,則PD=3x,(x>0)，

由勾股定理得PF=5x，即PG=5x，

∵

∴PE=3x，

∴

∵

∴

解得：x=1或x=1(舍)，

∴DE=6x=6，DF=4x=4，

由勾股定理可得

故答案為：