Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點B，C，經過B，C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）請問在拋物線上是否存在點Q，使得以點B，C，Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）過S（0，4）的動直線l交拋物線于M，N兩點，試問拋物線上是否存在定點T，使得不過定點T的任意直線l都有∠MTN=90°？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在；（3）存在點T（4，3）使得不過定點T的任意直線l都有∠MTN=90°．

【解析】試題分析：(1)根據坐標軸上點的坐標特征可求,,再根據待定系數法可求拋物線的函數表達式;

(2)存在,分三種情況:過B點垂直BC的直線的解析式為y=x+b,過C點垂直BC的直線解析式為y=x+3,以BC為斜邊,進行討論可求點Q的坐標;

(3)設M(x1,y1), N(x2,y2), T(a,b),過T作PQ∥x軸,過M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,可證△MPT∽TQN,根據相似三角形的性質求解.

解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點B，C，

∴B（3，0），C（0，3），

∵對稱軸為直線x=2，

∴設該拋物線的函數表達式為y=a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴該拋物線的函數表達式y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

（2）存在，設過B點垂直BC的直線的解析式為y=x+b，

把B（3，0）代入得b=﹣3，

則直線的解析式為y=x﹣3，

依題意有，

解得，，

∴Q1（2，﹣1），

過C點垂直BC的直線解析式為y=x+3，

依題意有，

解得，，

∴Q2（5，8），

以BC為斜邊，設β（a，a2﹣4a+3），則

a2+（a2﹣4a）2+（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2=18，

a3﹣8a2+20a﹣15=0，

（a﹣3）（a2﹣5a+5）=0，

解得a1=3，a2=，

∴Q3（，），Q4（，），

∴存在點Q，使得以點B，C，Q為頂點的三角形為直角三角形；

（3）設M（x1，y1），N（x2，y2），T（a，b），

過T作PQ∥x軸，過M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，則∠MTN=90°，

則△MPT∽△TQN，

∴，

a（x1+x2）﹣a2﹣x1x2=y1y2﹣b（y1+y2）+b2，

其中x1，x2，y1，y2是的解，

∴x2﹣（4+k）x﹣1=0，

x1x2=﹣1，

x1+x2=k+4，

y1y2=k2x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣k2+4k（k+4）+16，

y1+y2=k（k+4）+8，

1+a（k+4）﹣a2=﹣k2+4k（k+4）+16﹣b（k2+4k+8）+b2，

1+ak+4a﹣a2=﹣k3+4k2+16k+16﹣bk2﹣4bk﹣8b+b2，

∴（3﹣b）k2+（16﹣4b﹣a）k+a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，

∵y=kx+b有無數條，

∴k為任何實數，3﹣b=0，16﹣4b﹣a=0，a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，

解得a=4，b=3，

存在點T（4，3）使得不過定點T的任意直線l都有∠MTN=90°．