Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=8，CB=6，動點P從C出發沿CA方向，以每秒1個單位長度的速度向A點勻速運動，到達A點后立即以原來速度沿AC返回；同時動點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長度向點B勻速運動，當Q到達B時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）當t為何值時，PQ∥CB？

（2）在點P從C向A運動的過程中，在CB上是否存在點E使△CEP與△PQA全等？若存在，求出CE的長；若不存在，請說明理由；

（3）伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB﹣BC﹣CP于點F．當DF經過點C時，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）5和10.

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理求出AB，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可；

（2）根據全等三角形的性質得到∠PQA=90°，根據相似三角形的性質求出PE，根據勾股定理計算；

（3）分P由C向A運動和P由A向C運動兩種情況，根據線段垂直平分線的性質、相似三角形的性質計算．

解：（1）如圖1，

CP=AQ=t，則AP=8－t，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=10，

由PQ∥CB可得，即，

解得t=，所以當t=時，PQ∥CB .

（2）存在，如圖2，

由題意可知CP=AQ=t，又∵∠PCE =90°，要使△CEP與△PQA全等，

只有∠PQA=90°，

這一種情況，此時CE=PQ，PE= AP，由△PQA∽△BCA可得，

即，解得t=，

則PE=8－t=，在Rt△PCE中，由勾股定理可得CE=；

(或由△PCE∽△ACB得，即，解得CE=）

（3）①當P由C向A運動時，CQ=CP=AQ=t，可得∠QCA=∠QAC，

所以∠QCB=∠QBC，所以CQ=BQ=t，所以BQ=AQ=AB，

即AB=2t，解得t=5；

②如圖3，

當P由A向C運動時，過Q作QG⊥CB交CB于點G，

CQ=CP=16－t，BQ=10－t，則，即，所以GQ=（10－t），

同理可求得BG=（10－t），所以GC=6－（10－t），

在Rt△CGQ中，由勾股定理可得：CG2+GQ2=CQ2，

即[6﹣（10－t）]2+[（10－t）]2=（16－t）2，解得t=10.

綜上可知滿足條件的t的值為5和10．