Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，在x軸上任取一點M．連接AM，分別以點A和點M為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點，作直線GH，過點M作x軸的垂線l交直線GH于點P．根據以上操作，完成下列問題．

探究：

（1）線段PA與PM的數量關系為________，其理由為：________________．

（2）在x軸上多次改變點M的位置，按上述作圖方法得到相應點P的坐標，并完成下列表格：

M的坐標	…					…
P的坐標	…					…

猜想：

（3）請根據上述表格中P點的坐標，把這些點用平滑的曲線在圖2中連接起來；觀察畫出的曲線L，猜想曲線L的形狀是________．

驗證：

（4）設點P的坐標是，根據圖1中線段PA與PM的關系，求出y關于x的函數解析式．

應用：

（5）如圖3，點，，求點D的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；（2）圖見解析，拋物線；（3）見解析；（4）；（5）

【解析】

（1）由尺規作圖的步驟可知，HG是AM的中垂線，結合中垂線的性質，即可得到答案；

（2）根據第（1）的作圖方法，得到相應點P的位置，即可求解；

（3）用平滑的曲線作出圖象，即可；

（4）過點P作軸于點E，用含x，y的代數式表示，，，結合勾股定理，即可得到答案；

（5）連接，由題意得當時，在的外接圓上，弧所對的圓心角為60°，的外接圓圓心為坐標原點O，設，求出b的值，進而即可求解．

解：（1） 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

（2）

M的坐標	…					…
P的坐標	…					…

（3）草圖見圖2：形狀：拋物線

（4）如圖1，過點P作軸于點E，

，，

在中，

即

化簡，得

∴y關于x的函數解析式為．

（5）連接，易得，又

∴為等邊三角形，∴

當時，在的外接圓上，弧所對的圓心角為60°

其圓心在的垂直平分線y軸上，

∴的外接圓圓心為坐標原點O，

設，則，即 ①

又點D在該拋物線上

∴ ②

由①②聯立解得：（舍去）

數形結合可得，

當時，點D的縱坐標的取值范圍為