Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2，直線y=x﹣2經過點C，交y軸于點G．

（1）點C、D的坐標分別是C（ ），D（ ）；

（2）求頂點在直線y=x﹣2上且經過點C、D的拋物線的解析式；

（3）將（2）中的拋物線頂點沿直線y=x﹣2平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E，求出當EF=EG時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）（4，2），（1，2）；（2）y=（x﹣）2+；（3）y=（x﹣）2+或y=（x﹣）2﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得C點坐標，根據矩形的性質，可得D點坐標；

（2）根據對稱性，可得頂點的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得頂點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（3）根據圖形平移，可得y=（x﹣m）2+m﹣2，根據EF=EG，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

解：（1）當y=2時，x﹣2=2，解得x=4，即C點坐標為（4，2）．

由矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2，得

4﹣3=1，即D點的坐標為（1，2）．

故答案為：（4，2），（1，2）；

（2）由二次函數對稱性得，頂點橫坐標為，

令x=，則y=﹣2=，

∴頂點坐標為（，），

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣）2+，

把點（1，2）代入得，

a=．

∴解析式為y=（x﹣）2+；

（3）設頂點E在直線上運動的橫坐標為m，則E（m，m﹣2），（m＞0）

∴可設解析式為y=（x﹣m）2+m﹣2，

當x=0時，y=m2+m﹣2，即F點坐標為（0，m2+m﹣2）．

當x=0時，y=m﹣2，即G（0，m﹣2）．

當GE=EF時，FG=2（yE﹣yG），即

m2+m﹣2﹣2=2[m﹣2﹣（﹣2）]．

解得m=，m=，

此時所求的解析式為：y=（x﹣）2+或y=（x﹣）2﹣．