Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，延長(zhǎng)與邊交于點(diǎn)．

求：（1）的正切值；

（2）線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由Rt△ABC，且CF垂直于BD，利用同角的余角相等得到∠ACE=∠CBD，根據(jù)AC的長(zhǎng)確定出CD的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求即可；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為點(diǎn)H，在Rt△EHA中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tanA，進(jìn)而表示出AE，在Rt△CEH中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出CH，由CH+AH表示出AC，根據(jù)已知AC的長(zhǎng)求出k的值，即可確定出所求．

（1）∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
又∵CF⊥BD，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCE+∠CBD=90°，
∴∠ACE=∠CBD，
∵AC=4且D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=2，
又∵BC=3，

在Rt△BCD中，∠BCD=90°．
∴tan∠CBD=，

∴tan∠ACE=tan∠CBD；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為點(diǎn)H，

在Rt△EHA中，∠EHA=90°，
∴tanA=，

∵BC=3，AC=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanA=，
∴，
設(shè)EH=3k，AH=4k，
∵，即，
∴AE=5k，
在Rt△CEH中，∠CHE=90°，
∴tan∠ECA=，

∴CH=，

∴AC=AH+CH=，

解得：，