Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．

由（1）知△ADF∽△DEC，

∴ ，∴DE= = =12．

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6

【解析】（1）由平行四邊形得出兩組對邊分別平行證出AB∥CD，AD∥BC，得出∠ADF=∠DEC。及∠C+∠B=180°，再由∠AFE=∠B．證明∠AFD=∠C．可證得△ADF∽△DEC 。
（1）由△ADF∽△DEC，得出對應邊成比例，即可求出DE的長，，再利用勾股定理求出AE的長。
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．