Question

如圖，在正方形ABCD中有一點P，連接AP、BP，旋轉△APB到△CEB的位置．
（1）若正方形的邊長是8，PB=4．求陰影部分面積；
（2）若PB=4，PA=7，∠APB=135°，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質得到△APB≌△CEB，則BP=BE，∠ABP=∠EBC；以B為圓心，BP畫弧叫AB于F點，如圖，易得扇形BFP的面積=扇形BEQ，則圖形ECQ的面積=圖形AFP的面積，于是S_陰影部分=S_扇形BAC-S_扇形BFQ，然后根據扇形的面積公式計算即可；
（2）連PE，利用△APB≌△CEB得到BP=BE=4，∠ABP=∠EBC，PA=EC=7，∠BEC=∠APB=135°，易得△PBE為等腰直角三角形，則∠BEP=45°，PE=4

2

，則∠PEC=135°-45°=90°，然后在Rt△PEC中根據勾股定理計算即可得到PC的長．

解答：解：（1）∵把△APB旋轉到△CEB的位置，
∴△APB≌△CEB，
∴BP=BE，∠ABP=∠EBC，
以B為圓心，BP畫弧叫AB于F點，如圖，
∴扇形BFP的面積=扇形BEQ，
∴圖形ECQ的面積=圖形AFP的面積，
∴S_陰影部分=S_扇形BAC-S_扇形BFQ=

90•π•82

360

-

90•π•42

360

=12π；

（2）連PE，
∴△APB≌△CEB，
∴BP=BE=4，∠ABP=∠EBC，PA=EC=7，∠BEC=∠APB=135°，
∴△PBE為等腰直角三角形，
∴∠BEP=45°，PE=4

2

，
∴∠PEC=135°-45°=90°，
∴PC=

PE2+EC2

=

32+49

=9．

點評：本題考查了扇形的面積公式：S=

n•π•R2

360

（其中n為扇形的圓心角的度數，R為半徑）．也考查了正方形和旋轉的性質．