Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD．

（1）求證：OP⊥CD；

（2）連接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）方法1、先判斷出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出結論；
方法2、判斷出OP是CD的垂直平分線，即可得出結論；
（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等邊三角形，最后用銳角三角函數即可得出結論.

解：（1）方法1、連接OC，OD，

∴OC＝OD，

∵PD，PC是⊙O的切線，

∵∠ODP＝∠OCP＝90°，

在Rt△ODP和Rt△OCP中，，

∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，

∴∠DOP＝∠COP，

∵OD＝OC，

∴OP⊥CD；

方法2、∵PD，PC是⊙O的切線，

∴PD＝PC，

∵OD＝OC，

∴P，O在CD的中垂線上，

∴OP⊥CD

（2）如圖，連接OD，OC，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，

∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，

∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，

∴∠COD＝60°，

∵OD＝OC，

∴△COD是等邊三角形，

由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，

在Rt△ODP中，OP＝＝．