Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AD是⊙O的直徑，∠ABC=60°，∠ACB=50°，請解答下列問題：

（1）求∠CAD的度數；

（2）設AD、BC相交于E，AB、CD的延長線相交于F，求∠AEC、∠AFC的度數；

（3）若AD=6，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）∠AEC=100°，∠AFC=20°；（3）.

【解析】試題分析：

（1）根據圓周角定理求出∠ADC、∠ACD的度數，相減即可；

（2）根據三角形的內角和定理求出∠BAC，根據三角形的外角性質求出即可；

（3）連接OC，過O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度數，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面積，相減即可．

試題解析：

：（1）∵弧AC=弧AC，

∴∠ADC=∠ABC=60°，

∵AD是直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，

答：∠CAD的度數是30°．

（2）∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，

∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=70°-30°=40°，

∴∠BCD=∠BAD=40°，

∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°，

∵∠AFC=∠ABC-∠BCF=60°-40°=20°，

答：∠AEC=100°，∠AFC=20°．

連接OC，過O作OQ⊥AC于Q，

∵∠CAD=30°，AO=3，

∴OQ=

由勾股定理得：AQ=

由垂徑定理得：AC=2AQ=

∵∠AOC=2∠ABC=120°，

∴陰影部分的面積是S扇形OAC-S△AOC= .