Question

【題目】把一個含45°角的直角三角板BEF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點B重合，聯結DF，點M，N分別為DF，EF的中點，聯結MA，MN．

（1）如圖1，點E，F分別在正方形的邊CB，AB上，請判斷MA，MN的數量關系和位置關系，直接

寫出結論；

（2）如圖2，點E，F分別在正方形的邊CB，AB的延長線上，其他條件不變，那么你在（1）中得到的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）MA=MN，MA⊥MN；（2）成立，理由詳見解析

【解析】

試題（1）連接DE，先根據直角三角形的性質得出AM=DF，再根據△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE，由SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DE=DF．再根據點M，N分別為DF，EF的中點，得出MN是△EFD的中位線，故MN=DE，MN∥DE，再根據平行線的性質及全等三角形的性質即可得出結論；

（2）連接DE，由直角三角形的性質得出MA=DF=MD=MF，故∠1=∠3．再由點N是EF的中點，得出MN是△DEF的中位線，所以MN=DE，MN∥DE．根據△BEF是等腰直角三角形可知BF=BF，∠EBF=90°．根據SAS定理得出△ADF≌△CDE，故DF=DE，∠1=∠2，MA=MN，∠2=∠3．再根據∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5得出∠3+∠5=90°，由三角形內角和定理可知∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，故可得出結論．

試題解析：（1）解：連接DE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB=BC，∠DAB=∠DCE=90°，

∵點M是DF的中點，

∴AM=DF．

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴AF=CE，

在△ADF與△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴DE=DF．

∵點M，N分別為DF，EF的中點，

∴MN是△EFD的中位線，

∴MN=DE，

∴AM=MN；

∵MN是△EFD的中位線，

∴MN∥DE，

∴∠FMN=∠FDE．

∵AM=MD，

∴∠MAD=∠ADM，

∵∠AMF是△ADM的中位線，

∴∠AMF=2∠ADM．

∵△ADF≌△CDE，

∴∠ADM=∠DEC，

∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，

∴MA⊥MN．

∴MA=MN，MA⊥MN．

（2）成立．

理由：連接DE．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．

在Rt△ADF中，

∵點M是DF的中點，

∴MA=DF=MD=MF，

∴∠1=∠3．

∵點N是EF的中點，

∴MN是△DEF的中位線，

∴MN=DE，MN∥DE．

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=BF，∠EBF=90°．

∵點E、F分別在正方形CB、AB的延長線上，

∴AB+BF=CB+BE，即AF=CE．

在△ADF與△CDE中，

∵

∴△ADF≌△CDE，

∴DF=DE，∠1=∠2，

∴MA=MN，∠2=∠3．

∵∠2+∠4=∠ABC=90°，∠4=∠5，

∴∠3+∠5=90°，

∴∠6=180°﹣（∠3+∠5）=90°，

∴∠7=∠6=90°，MA⊥MN．