Question

拋物線P：y=ax²+b （a＜0、b＞0）與x軸相交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C．將拋物線P關于x軸作軸對稱變換，再將變換后的拋物線向右平移m個單位（m＞0），得到新拋物線P₁，其頂點為D，與x軸相交于E、F兩點（F在E左側），與y軸相交于點G．

（1）當a=-1，b=2，①拋物線P₁過原點時，直接寫出拋物線P₁解析式；②點D在拋物線P上時，直接寫出拋物線P₁的解析式；
（2）如圖2，當拋物線P₁過點B時，若四邊形ADEC為矩形時，請求出a和b應滿足的關系式；
（3）當a=-1，b=2時，若△OFG和△OGE相似，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把a、b的值代入得到拋物線P的解析式，寫出關于x軸對稱并向右平移m個單位的拋物線解析式，①把原點坐標代入進行計算即可求出拋物線P₁解析式；
②把點D的坐標代入拋物線P的解析式求出m的值，從而得解；
（2）根據拋物線解析式求出點B、C的坐標，從而得到OB、OC的長度，再根據勾股定理求出BC的長度，然后根據拋物線的對稱性以及矩形的對角線互相平分且相等列式整理即可得到ab的關系；
（3）根據用m表示的拋物線P₁解析式求出OG的長度，再根據平移表示出OE、OF的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到m的值．

解答：解：（1）∵a=-1，b=2，
∴拋物線P：y=-x²+2，
∵拋物線P關于x軸對稱，再向右平移m個單位得到拋物線P₁，
∴拋物線P₁的解析式為y=（x-m）²-2，
①拋物線P₁過原點，則（0-m）²-2=0，
解得m=

2

，
所以，拋物線P₁解析式為y=（x-

2

）²-2；
②∵拋物線P₁的頂點D（m，-2）在拋物線P上，
∴-m²+2=-2，
解得m=2，
∴拋物線P₁解析式為y=（x-2）²-2；

（2）令y=0，則ax²+b=0，
解得x=

- b a

，
令x=0，則y=b，
∴點B（

- b a

，0），C（0，b），
∴OB=

- b a

，OC=b，
在Rt△BOC中，BC=

OB2+OC2

=

- b a +b2

，
根據對稱性可得AB=BE，CB=BD，且C、B、D在同一直線上，
∴四邊形ADEC為平行四邊形，
要使四邊形ADEC為矩形，則AE=CD，
即4×

- b a

=2×

- b a +b2

，
整理得，-

4b

a

=-

b

a

+b²，
所以，ab=-3；

（3））∵a=-1，b=2，
∴拋物線P：y=-x²+2，
令y=0，則-x²+2=0，
解得x=±

2

，
∴點A（-

2

，0）點B（

2

，0），
∵拋物線P關于x軸對稱，再向右平移m個單位得到拋物線P₁，
∴拋物線P₁的解析式為y=（x-m）²-2，
點E（

2

+m，0），點F（-

2

+m），
令x=0，則y=（0-m）²-2=m²-2，
∴點G的坐標為（0，m²-2），
∴OE=

2

+m，OF=|-

2

+m|，OG=|m²-2|，
∵△OFG和△OGE相似，
∴

OE

OG

=

OG

OF

，
∴OG²=OE•OF，
∴（m²-2）²=（

2

+m）•|-

2

+m|=|m²-2|，
整理得，m²-2=1或m²-2=-1，
解得m=

3

或m=1．

點評：本題綜合考查了二次函數，主要利用了關于x軸對稱以及平移變換的拋物線的解析式的寫法，矩形的對角線互相平分且相等，相似三角形的對應邊成比例的性質，能夠寫出關于x軸對稱并平移后的拋物線P₁的解析式是解題的關鍵．